Kompozíciós funkciók: Alapfogalmak, képletek és példák

Összetétel funkció az f (x) és a g (x) függvény kétféle műveletének kombinációja, így új függvényt hozhat létre.

Összetétel Funkció képletek

A kompozíciófüggvény működésének szimbóluma az „o” betűvel van jelölve, majd olvasható kompozícióként vagy körként. Ezt az új függvényt f (x) és g (x) alakíthatjuk ki, nevezetesen:

1. (f o g) (x), ami azt jelenti, hogy g beíródik f-be
2. (g o f) (x), ami azt jelenti, hogy f beillesztésre kerül g-be

Az összetétel függvény egyetlen funkcióként is ismert.

Mi az egyetlen funkció?

Az egyetlen függvény egy olyan funkció, amelyet "f o g" betűvel jelölhetünk, vagy "f kerek g" -vel leolvasható. Az "f o g" függvény a g függvény, amelyet először el kell végezni, majd f követi.

Eközben a "g o f" függvényhez olvassa el az g körforgalom f függvényét. Így a "g o f" olyan függvény, ahol f helyett először g helyett g.

Ezután az (f o g) (x) = f (g (x)) → g (x) függvény f (x) függvényként áll

Ennek a funkciónak a megértése érdekében vegye figyelembe az alábbi képet:

A fenti képletséma alapján a definíciót kaptuk:

Ha f: A → B képlettel határozta meg y = f (x)

Ha g: B → C képlettel határozta meg y = g (x)

Ezután megkapjuk a g és f függvények eredményét:

h (x) = (gof) (x) = g (f (x))

A fenti definícióból arra következtethetünk, hogy az f és g függvényeket tartalmazó függvények írhatók:

• (g o f) (x) = g (f (x))
• (f o g) (x) = f (g (x))

Az összetétel függvényének tulajdonságai

Az összetétel függvénynek számos tulajdonsága van, amelyeket az alábbiakban ismertetünk.

Ha f: A → B, g: B → C, h: C → D, akkor:

1. (f o g) (x) ≠ (g o f) (x). A kommutatív jelleg nem érvényes
2. [f o (g o h) (x)] = [(f o g) o h (x)]. asszociatív
3. Ha az identitásfüggvény I (x), majd (f o l) (x) = (l o f) (x) = f (x)

Példák a problémákra

1. feladat

Adott két-két funkció f (x) és g (x), nevezetesen:

f (x) = 3x + 2

g (x) = 2 - x

Határozza meg:

a) (f o g) (x)

b) (g o f) (x)

Válasz

Ismert:

f (x) = 3x + 2

g (x) = 2 - x

(f o g) (x)

"Írja be g (x) - igf (x) "

amíg nem lesz:

(f o g) (x) = f ( g(x))

= f (2 - x)

= 3 (2 - x) + 2

= 6 - 3x + 2

= - 3x + 8

(g o f ) (x)

"Írja be f (x) - ig g (x) "

Amíg nem válik:

(f o g) (x) = g (f (x))

= g (3x + 2)

= 2 - (3x + 2)

= 2 - 3x - 2

= - 3x

2. feladat

Ha tudjuk, hogy f (x) = 3x + 4 és g (x) = 3x, akkor mi az (f o g) (2) értéke.

Válasz:

(f o g) (x) = f (g (x))

= 3 (3x) + 4

= 9x + 4

(f o g) (2) = 9 (2) + 4

= 22

3. feladat

Ismert funkció f (x) = 3x - 1 és g (x) = 2 × 2 + 3. A függvény összetételének értéke ( g o f )(1) =….?

Válasz

Ismert:

f (x) = 3x - 1 és g (x) = 2 × 2 + 3

( g o f )(1) =…?

Dugja be az f (x) -t g (x) -be, majd töltse fel 1-vel

(g o f) (x) = 2 (3 x - 1) 2 + 3

(g o f) (x) = 2 (9 x 2 - 6x + 1) + 3

(g o f) (x) = 18x2 - 12x + 2 + 3

(g o f) (x) = 18 × 2 - 12x + 5

(g o f) (1) = 18 (1) 2 − 12(1) + 5 = 11

4. feladat

Két funkciót kap:

f (x) = 2x - 3

g (x) = x2 + 2x + 3

Ha (f o g) (a) értéke 33, keresse meg az 5a értékét

Válasz:

Keresse meg először (f o g) (x)

(f o g) (x) 2 (x2 + 2x + 3) - 3

(f o g) (x) egyenlő 2 × 2 4x + 6 - 3

(f o g) (x) egyenlő 2 × 2 4x + 3

A 33 azonos a 2a2 4a + 3 értékkel

2a2 4a - 30 egyenlő 0-val

a2 + 2a - 15 egyenlő 0-val

Tényező:

(a + 5) (a - 3) értéke 0

a = - 5 vagy egyenlő 3-mal

Nak nek

5a = 5 (−5) = −25 vagy 5a = 5 (3) = 15

5. feladat

Ha (f o g) (x) = x² + 3x + 4 és g (x) = 4x - 5. Mi az f (3) értéke?

Válasz:

(f o g) (x) egyenlő x2 + 3x + 4

f (g (x)) egyenlő x2 + 3x + 4

g (x) egyenlő 3 Tehát,

4x - 5 egyenlő 3

4x egyenlő 8-val

x egyenlő 2-vel

f (g (x)) = x² + 3x + 4, és 3-val egyenlő g (x) esetén x-et kapunk 2-vel

Amíg: f (3) = 2² + 3. 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

Ez a magyarázat a Composition Function képletre és egy példa a problémára. Hasznos lehet.