Köregyenletek - képletek, általános űrlapok és példafeladatok

A kör egyenletének általános alakja x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, amely felhasználható a kör sugarának és középpontjának meghatározására.

Az alábbiakban megismert köregyenletnek több formája van. Különböző esetekben az egyenlet eltérő lehet. Ezért értsd meg jól, hogy fejből tudd megjegyezni.

A kör olyan ponthalmaz, amely egyenlő távolságra van egy ponttól. Ezen pontok koordinátáit az egyenletek elrendezése határozza meg. Ezt a sugár hossza és a kör középpontjának koordinátái alapján határozzuk meg.

Köregyenletek

Különböző típusú hasonlóságok léteznek, nevezetesen egyenlet amely a középpontból és a sugárból és egy olyan egyenletből áll, amely megtalálható a középpont és a sugár között.

A kör általános egyenlete

Van egy általános egyenlet, az alábbiak szerint:

A fenti egyenletből ítélve a középpont és a sugár meghatározható:

A kör közepe:

P (a, b) és r sugár közepén

Körből, ha ismeri a középpontot és a sugarat, megkapja a képletet:

Ha ismeri a kör középpontját és a kör sugarát, ahol (a, b) a középpont és r a kör sugara.

A fenti egyenlet alapján megállapíthatjuk, hogy a pont a körön, vagy azon belül vagy kívül fekszik-e. A pont helyének meghatározásához használja az x és y változók ponthelyettesítését, majd hasonlítsa össze az eredményeket a kör sugarának négyzetével.

Egy M pont (x₁, y₁) található:

A körön:

A kör belsejében:

A körön kívül:

O-val (0,0) és r sugárral

Ha a középpont O-n van (0,0), akkor az előző részben végezze el a helyettesítést, nevezetesen:

A fenti egyenlet alapján meghatározható egy pont helye a körön.

Egy M pont (x₁, y₁) található:

A körön:

A kör belsejében:

A körön kívül: Olvassa el még: Art: Definíció, Funkció, Típusok és Példák [TELJES]

Az egyenlet általános formája a következő alakokban fejezhető ki.

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2, vagy

X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, vagy

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, ahol P = -2a, Q = -2b és S = a2 + b2 - r2

Vonalak és körök metszéspontja

Az x2 + y2 + Ax + By + C = 0 egyenlettel rendelkező kör meghatározható, hogy az y = mx + n egyenlettel rendelkező h egyenes a diszkrimináns elv alapján nem érinti-e, nem sérti-e vagy metszi-e.

……. (1. egyenlet)

…… .. (2. egyenlet)

Ha a 2. egyenletet felváltja az 1. egyenletre, akkor másodfokú egyenletet kap, nevezetesen:

A fenti másodfokú egyenletből, a diszkrimináns értékek összehasonlításával látható, hogy az egyenes nem sérti / metszi-e, nem sérti-e vagy metszi-e a kört.

A h egyenes nem metszik / sérti a kört, így D <0

A h egyenes érintője a körnek, tehát D = 0

A h vonal metszi a kört, így D> 0

Érintők és körök egyenletei

1. Érintők egyenlete a kör egy pontján keresztül

A kör érintői pontosan találkoznak a körön elhelyezkedő ponttal. Az érintő és a kör metszéspontjától meghatározható az érintő vonal egyenlete.

A P (x.) Ponton áthaladó kör érintőjének egyenlete₁, y₁) meghatározhatók, nevezetesen:

• Forma

Az érintő egyenlete

• Forma

Az érintő egyenlete

• Forma

Az érintő egyenlete

Példák a problémákra:

Az érintő egyenlete a körön lévő -1,1 ponton keresztül

vannak:

Válasz:

Ismerje a kör egyenletét

ahol A = -4, B = 6 és C = -12 és x₁ = -1, y₁ = 1

A PGS az

Tehát az érintő egyenlete

2. Az egyenlet a gradiens érintőit érinti

Ha az m meredekségű egyenes érintő egy kört,

akkor az érintő egyenlete:

Ha ez egy kör,

akkor az érintő egyenlete:

Ha ez egy kör,

akkor az érintő egyenlete az r helyettesítésével,

hogy:

vagy

3. A körön kívül eső pontok érintőinek egyenletei

A körön kívüli pontból két érintő vonható le a körhöz.

Az érintőegyenlet megtalálásához a szabályos vonalegyenlet képletét kell használni, nevezetesen:

Ebből a képletből azonban a vonal meredekségének értéke nem ismert. A vonal meredekségének megkereséséhez cserélje le az egyenletet a köregyenletre. Mivel az egyenes érintő, akkor az egyenletből a D = 0 érték és az m értéke behelyettesítésének eredményét kapjuk

Példák a problémákra

Példa 1. feladat

Egy kör középpontja (2, 3) van, és átmérője 8 cm. A kör egyenlete ...

Vita:

Mivel d = 8 azt jelenti, hogy r = 8/2 = 4, így a kialakult kör egyenlete megegyezik

(x - 2) 2 + (y - 3) 2 = 42

x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

Példa 2. feladatra

Határozza meg az (5,1) pontban és a 3 sértő egyenesen középre helyezett kör általános egyenletét!x– 4y+ 4 = 0!

Vita:

Ha ismeri a kör közepét (a,b) = (5,1) és a 3 kör érintőjex– 4y+ 4 = 0, akkor a kör sugara a következőképpen fogalmazódik meg.

Így a kör általános egyenlete a következő.

Így az (5,1) pontban és a 3 sértő egyenesre összpontosított kör általános egyenletex– 4y+ 4 = 0 van

Példa 3. feladat

Keresse meg a (-3,4) középpontú és az Y tengelyt sértő kör általános egyenletét!

Vita:

Először is rajzoljuk meg először a kör grafikonját, amelynek középpontja (-3,4) és sértő az Y tengelyre!

A fenti kép alapján látható, hogy a kör közepe 3-as sugarú koordinátán (-3,4) van, így:

Így a (-3,4) középpontú és az Y tengelyt sértő általános egyenlet az

Bizonyos esetekben a kör sugara nem ismert, de az érintő ismert. Tehát hogyan lehet meghatározni a kör sugarát? Nézze meg a következő képet.

A fenti kép azt mutatja, hogy a vonal érintője az egyenletnek px+ qy+ r= 0 megsérti a C (a, b). A sugár a következő egyenlettel határozható meg.a, b). A sugár a következő egyenlettel határozható meg.

Hasznos lehet.