A matematikai indukció deduktív módszer, amelyet igaz vagy hamis állítások igazolására használnak.
Biztosan matematikai indukciót tanult középiskolában. Mint tudjuk, a matematikai indukció a matematikai logika kiterjesztése.
Alkalmazásában matematikai logikát használnak olyan állítások tanulmányozására, amelyek hamis vagy valós értékekkel, ekvivalensekkel vagy negatívumokkal rendelkeznek, és következtetéseket vonnak le.
Alapfogalmak
A matematikai indukció deduktív módszer, amelyet igaz vagy hamis állítások bizonyítására használnak.
Ennek során következtetéseket vonnak le az általánosan elfogadott állítások érvényessége alapján, így a konkrét állítások is igazak lehetnek. Ezenkívül a matematikai indukció változóját is a természetes számok halmazának tagjának tekintik.
Alapvetően három lépés van a matematikai indukcióban annak bizonyítására, hogy egy képlet vagy állítás igaz lehet-e, vagy fordítva.
Ezek a lépések:
- Bizonyítsuk be, hogy egy állítás vagy képlet igaz n = 1 esetén.
- Tegyük fel, hogy egy állítás vagy képlet igaz n = k esetén.
- Bizonyítsuk be, hogy egy állítás vagy képlet igaz n = k + 1 esetén.
A fenti lépésekből feltételezhetjük, hogy egy utasításnak ellenőrizhetőnek kell lennie n = k és n = k + 1 esetén.
A matematikai indukció típusai
Különféle matematikai problémák léteznek, amelyeket matematikai indukcióval lehet megoldani. Ezért a matematikai indukció három típusra osztható, nevezetesen sorokra, osztásra és egyenlőtlenségekre.
1. Sorozat
Az ilyen típusú sorozatokban a matematikai indukciós probléma általában egymást követő összeadás formájában található meg.
Tehát a sorozatproblémában az igazságot az első tagban, a k-tagban és a th-tagban (k + 1) kell bizonyítani.
2. Osztály
Az osztási matematikai indukció típusai különböző feladatokban találhatók, amelyek a következő mondatokat használják:
- az a osztható b-vel
- b tényező a
- b osztja a
- a többszörös b
Ez a négy jellemző azt jelzi, hogy az utasítás megoldható osztás típusú matematikai indukcióval.
Emlékeztetni kell arra, hogy ha az a szám osztható b-vel, akkor a = reggel ahol m egész szám.
3. Egyenlőtlenségek
Az egyenlőtlenség típusát egy olyan jel jelzi, amely nagyobb vagy kevesebb, mint az állításban szereplő.
Vannak olyan tulajdonságok, amelyeket gyakran használnak matematikai indukciós típusú egyenlőtlenségek megoldásában. Ezek a jellemzők:
- a> b> c ⇒ a> c vagy a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc vagy a> b és c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c vagy a> b ⇒ a + c> b + c
Példák matematikai indukciós feladatokra
Az alábbiakban egy példa a problémára, hogy jobban megértsük, hogyan lehet megoldani a képletbiztosítást matematikai indukcióval.
Sor
1. példa
Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1).
Válasz:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Bebizonyosodik, hogy n = (n) minden n ∈ N-re igaz
Az első lépés :
Megmutatja, hogy n = (1) helyes-e
2 = 1(1 + 1)
Tehát P (1) helyes
Második lépés :
Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, azaz
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Harmadik lépés
Megmutatja, hogy n = (k + 1) is igaz, vagyis
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
A feltételezésekből:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Adja hozzá mindkét oldalát u-valk + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Tehát n = (k + 1) helyes
2. példa
Matematikai indukcióval igazolhatjuk az egyenleteket
Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 minden egész számra n ≥ 1.
Válasz:
Az első lépés :Megmutatja, hogy n = (1) helyes-e
S1 = 1 = 12
Második lépés
Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, vagyis
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Harmadik lépés
Bizonyítsuk be, hogy n = (k + 1) igaz
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
ne feledje, hogy 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
azután
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
akkor a fenti egyenlet bizonyított
3. példa
Bizonyítsd be 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 igaz, minden n természetes számra
Válasz:
Az első lépés :
Megmutatja, hogy n = (1) helyes-e
1 = 12
Tehát P (1) helyes
Második lépés:
Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, vagyis
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Harmadik lépés:
Megmutatja, hogy n = (k + 1) is igaz, vagyis
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
A feltételezésekből:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Adja hozzá mindkét oldalát u-valk + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Tehát n = (k + 1) is igaz
Osztály
4. példa
Bizonyítsuk be, hogy n3 + 2n osztható 3-mal, minden n természetes számra
Válasz:
Az első lépés:
Megmutatja, hogy n = (1) helyes-e
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Tehát n = (1) helyes
Olvassa el még: A kommunista ideológia megértése és jellemzői + példákMásodik lépés:
Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, vagyis
k3 + 2k = 3m, k = NN
Harmadik lépés:
Megmutatja, hogy n = (k + 1) is igaz, vagyis
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p = ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Mivel m egész szám és k természetes szám, (m + k2 + k + 1) egész szám.
Tegyük fel, hogy akkor p = (m + k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, ahol p ∈ ZZ
Tehát n = (k + 1) helyes
Egyenlőtlenség
5. példa
Bizonyítsuk be, hogy minden természetes számra érvényes n ≥ 2
3n> 1 + 2n
Válasz:
Az első lépés:
Megmutatja, hogy n = (2) helyes-e
32 = 9 > 1 + 2.2 = 5
Tehát P (1) helyes
Második lépés:
Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, vagyis
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Harmadik lépés:
Megmutatja, hogy n = (k + 1) is igaz, vagyis
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (mert 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (mert 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Tehát n = (k + 1) is igaz
6. példa
Bizonyítsuk be, hogy minden természetes számra érvényes n ≥ 4
(n + 1)! > 3n
Válasz:
Az első lépés:
Megmutatja, hogy n = (4) helyes-e
(4 + 1)! > 34
bal oldal: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
jobb oldal: 34 = 81
Tehát n = (4) helyes
Második lépés:
Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, vagyis
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Harmadik lépés:
Megmutatja, hogy n = (k + 1) is igaz, vagyis
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (mert (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (mert k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Tehát n = (k + 1) is igaz
