Matematikai indukció: Anyagi fogalmak, példakérdések és vita

A matematikai indukció deduktív módszer, amelyet igaz vagy hamis állítások igazolására használnak.

Biztosan matematikai indukciót tanult középiskolában. Mint tudjuk, a matematikai indukció a matematikai logika kiterjesztése.

Alkalmazásában matematikai logikát használnak olyan állítások tanulmányozására, amelyek hamis vagy valós értékekkel, ekvivalensekkel vagy negatívumokkal rendelkeznek, és következtetéseket vonnak le.

Alapfogalmak

A matematikai indukció deduktív módszer, amelyet igaz vagy hamis állítások bizonyítására használnak.

Ennek során következtetéseket vonnak le az általánosan elfogadott állítások érvényessége alapján, így a konkrét állítások is igazak lehetnek. Ezenkívül a matematikai indukció változóját is a természetes számok halmazának tagjának tekintik.

Alapvetően három lépés van a matematikai indukcióban annak bizonyítására, hogy egy képlet vagy állítás igaz lehet-e, vagy fordítva.

Ezek a lépések:

• Bizonyítsuk be, hogy egy állítás vagy képlet igaz n = 1 esetén.
• Tegyük fel, hogy egy állítás vagy képlet igaz n = k esetén.
• Bizonyítsuk be, hogy egy állítás vagy képlet igaz n = k + 1 esetén.

A fenti lépésekből feltételezhetjük, hogy egy utasításnak ellenőrizhetőnek kell lennie n = k és n = k + 1 esetén.

A matematikai indukció típusai

Különféle matematikai problémák léteznek, amelyeket matematikai indukcióval lehet megoldani. Ezért a matematikai indukció három típusra osztható, nevezetesen sorokra, osztásra és egyenlőtlenségekre.

1. Sorozat

Az ilyen típusú sorozatokban a matematikai indukciós probléma általában egymást követő összeadás formájában található meg.

Tehát a sorozatproblémában az igazságot az első tagban, a k-tagban és a th-tagban (k + 1) kell bizonyítani.

2. Osztály

Az osztási matematikai indukció típusai különböző feladatokban találhatók, amelyek a következő mondatokat használják:

• az a osztható b-vel
• b tényező a
• b osztja a
• a többszörös b

Ez a négy jellemző azt jelzi, hogy az utasítás megoldható osztás típusú matematikai indukcióval.

Emlékeztetni kell arra, hogy ha az a szám osztható b-vel, akkor a = reggel ahol m egész szám.

3. Egyenlőtlenségek

Az egyenlőtlenség típusát egy olyan jel jelzi, amely nagyobb vagy kevesebb, mint az állításban szereplő.

Vannak olyan tulajdonságok, amelyeket gyakran használnak matematikai indukciós típusú egyenlőtlenségek megoldásában. Ezek a jellemzők:

• a> b> c ⇒ a> c vagy a <b <c ⇒ a <c
• a 0 ⇒ ac <bc vagy a> b és c> 0 ⇒ ac> bc
• a <b ⇒ a + c <b + c vagy a> b ⇒ a + c> b + c

Példák matematikai indukciós feladatokra

Az alábbiakban egy példa a problémára, hogy jobban megértsük, hogyan lehet megoldani a képletbiztosítást matematikai indukcióval.

Sor

1. példa

Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1).

Válasz:

P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)

Bebizonyosodik, hogy n = (n) minden n ∈ N-re igaz

Az első lépés :

Megmutatja, hogy n = (1) helyes-e

2 = 1(1 + 1)

Tehát P (1) helyes

Második lépés :

Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, azaz

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N

Harmadik lépés

Megmutatja, hogy n = (k + 1) is igaz, vagyis

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

A feltételezésekből:

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)

Adja hozzá mindkét oldalát u-val_{k + 1} :

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Tehát n = (k + 1) helyes

2. példa

Matematikai indukcióval igazolhatjuk az egyenleteket

Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 minden egész számra n ≥ 1.

Válasz:

Az első lépés :
Megmutatja, hogy n = (1) helyes-e
S1 = 1 = 12
Második lépés
Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, vagyis
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Harmadik lépés
Bizonyítsuk be, hogy n = (k + 1) igaz
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
ne feledje, hogy 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
azután
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
akkor a fenti egyenlet bizonyított

3. példa

Bizonyítsd be 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 igaz, minden n természetes számra

Válasz:

Az első lépés :

Megmutatja, hogy n = (1) helyes-e

1 = 12

Tehát P (1) helyes

Második lépés:

Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, vagyis

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.

Harmadik lépés:

Megmutatja, hogy n = (k + 1) is igaz, vagyis

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

A feltételezésekből:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Adja hozzá mindkét oldalát u-valk + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Tehát n = (k + 1) is igaz

Osztály

4. példa

Bizonyítsuk be, hogy n3 + 2n osztható 3-mal, minden n természetes számra

Válasz:

Az első lépés:

Megmutatja, hogy n = (1) helyes-e

13 + 2.1 = 3 = 3.1

Tehát n = (1) helyes

Második lépés:

Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, vagyis

k3 + 2k = 3m, k = NN

Harmadik lépés:

Megmutatja, hogy n = (k + 1) is igaz, vagyis

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p = ZZ

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 m + 3 (k2 + k + 1)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)

Mivel m egész szám és k természetes szám, (m + k2 + k + 1) egész szám.

Tegyük fel, hogy akkor p = (m + k2 + k + 1)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, ahol p ∈ ZZ

Tehát n = (k + 1) helyes

Egyenlőtlenség

5. példa

Bizonyítsuk be, hogy minden természetes számra érvényes n ≥ 2

3n> 1 + 2n

Válasz:

Az első lépés:

Megmutatja, hogy n = (2) helyes-e

32 = 9 > 1 + 2.2 = 5

Tehát P (1) helyes

Második lépés:

Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, vagyis

3k> 1 + 2k, k ≥ 2

Harmadik lépés:

Megmutatja, hogy n = (k + 1) is igaz, vagyis

3k + 1> 1 + 2 (k + 1)

3k + 1 = 3 (3k)
3k + 1> 3 (1 + 2k) (mert 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (mert 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)

Tehát n = (k + 1) is igaz

6. példa

Bizonyítsuk be, hogy minden természetes számra érvényes n ≥ 4

(n + 1)! > 3n

Válasz:

Az első lépés:

Megmutatja, hogy n = (4) helyes-e

(4 + 1)! > 34

bal oldal: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

jobb oldal: 34 = 81

Tehát n = (4) helyes

Második lépés:

Tegyük fel, hogy n = (k) igaz, vagyis

(k + 1)! > 3k, k ≥ 4

Harmadik lépés:

Megmutatja, hogy n = (k + 1) is igaz, vagyis

(k + 1 + 1)! > 3k + 1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (mert (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (mert k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1

Tehát n = (k + 1) is igaz