Másodfokú egyenletek (FULL): Definíció, képletek, példafeladatok

Másodfokú egyenlet egyike annak a változónak a matematikai egyenletei közül, amelynek a legnagyobb a kettője.

A másodfokú egyenlet vagy a PK általános formája a következő:

fejsze2 + bx + c = 0

val vel x egy változó, a, b az együttható, és c állandó. Az a értéke nem egyenlő nullával.

Grafikon alakzatok

Ha a másodfokú egyenletet derékszögű koordinátákkal (x, y) írják le, akkor ez parabolikus gráfot képez. Ezért a másodfokú egyenleteket is gyakran nevezik parabolikus egyenlet.

Az alábbiakban példát mutatunk ennek az egyenletnek a formájára parabolikus gráf formájában.

Az érték általánosított egyenletében a, b, és c nagyban befolyásolja a kialakuló parabolikus mintát.

Pontszám a határozza meg a parabola homorú vagy domború görbéjét. Ha az érték a a> 0, akkor a parabola fog nyíljon felfelé (konkáv). Egyébként, ha a <0, akkor a parabola fog lefelé nyitott (domború).

Pontszám b az egyenleten meghatározza a parabola felső pozíciója. Más szavakkal, a görbe szimmetriájának tengelyének értéke megegyezik x =-b/2a.

Állandó érték c a grafikonon az egyenlet meghatározza a parabola függvény metszéspontja az y tengellyel. Az alábbiakban egy parabolikus grafikon látható az állandó értékek változásával c.

A másodfokú egyenlet (PK) gyökerei

A másodfokú egyenlet megoldását a-nak nevezzükkar - a másodfokú egyenlet gyöke.

Különböző PK Roots

A PK gyökfajták könnyen megtalálhatók a D = b2 - 4ac általános képlet segítségével az ax2 + bx + c = 0 másodfokú általános egyenletből.

Az alábbiakban bemutatjuk a másodfokú egyenletek gyökereit.

1. Valódi gyökér (D> 0)

Ha a PK értéke D> 0, akkor valódi egyenletgyökereket eredményez, de különböző gyökerekkel rendelkezik. Más szóval, az x1 nem azonos az x2-vel.

Példa a valós gyökéregyenletre (D> 0)

Keresse meg az x2 + 4x + 2 = 0 egyenlet gyökér típusát.

Település:

a = 1; b = 4; és c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (1) (2)

D = 16 - 8

D = 8

Tehát mivel a D> 0 értéke, a gyökér valódi gyökér típusú.

2. A valós gyök megegyezik x1 = x2 (D = 0)

Ez egy olyan másodfokú gyökérfajta, amely azonos értékű gyökereket hoz létre (x1 = x2).

Példa valódi gyökerekre (D = 0)

Keresse meg a 2x2 + 4x + 2 = 0 PK gyökérértékét.

Település:

a = 2; b = 4; c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (2) (2)

D = 16-16

D = 0

Tehát mivel a D = 0 értéke bizonyított, hogy a gyökerek valósak és ikerpárok.

3. Képzeletbeli gyökerek / nem valósak (D <0)

Ha a D <0 értéke, akkor a másodfokú egyenlet gyöke képzeletbeli / nem valós lesz.

Példa képzeletbeli gyökerekre (D <0) /

Keresse meg az x2 + 2x + 4 = 0 egyenlet gyökér típusát.

Település:

a = 1; b = 2; c = 4

D = b2 - 4ac

D = 22 - 4 (1) (4)

D = 4-16

D = -12

Tehát mivel D <0 értéke, az egyenlet gyöke irreális vagy képzelt gyök.

Keresse meg a másodfokú egyenlet gyökereit

Számos módszer használható a másodfokú egyenlet gyökereinek megkeresésére. Köztük a faktorizálás, a tökéletes négyzetek és az abc képlet.

Az alábbiakban számos módszert ismertetünk az egyenletgyökerek megtalálásához.

1. Faktorizálás

Faktorizálás / faktoring módszer a gyökerek megtalálásához olyan értéket keres, amely szorozva újabb értéket eredményez.

A másodfokú egyenleteknek (PK) háromféle formája van, amelyek gyökértényezője eltérő:

Az alábbiakban bemutatunk egy problémát a faktorizációs módszer másodfokú egyenletekben történő alkalmazásával kapcsolatban.

Oldja meg az ötszörös másodfokú egyenletet2+ 13x + 6 = 0 faktorizációs módszerrel.

Település:

5x2 + 13x = 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(5x + 3) (x + 2) = 0

5x = -3 vagy x = -2

Tehát a megoldás eredménye x = -3/5 vagy x = -2

2. Tökéletes négyzetek

Forma tökéletes négyzetek a másodfokú egyenlet egyik formája, amely racionális számot ad.

A tökéletes másodfokú egyenlet eredményei általában a következő képletet használják:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

A tökéletes másodfokú egyenlet általános megoldása a következő:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

ahol (x + p) 2 = q, akkor:

(x + p) 2 = q

x + p = ± q

x = -p ± q

Az alábbiakban bemutatunk egy problémát a tökéletes egyenlet módszer használatával kapcsolatban.

Oldja meg az x2 + 6x + 5 = 0 egyenletet a tökéletes másodfokú egyenlet módszerével!

Település:

x2 + 6x +5 = 0

x2 + 6x = -5

A következő lépés, mégpedig adjon hozzá egy számot a jobb és a bal szegmensben, hogy tökéletes négyzetgé válhassanak.

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x + 3) 2 = 4

(x + 3) = √4

x = 3 ± 2

Tehát a végeredmény x = -1 vagy x = -5

3. ABC másodfokú képletek

Az abc képlet alternatív választás, ha a másodfokú egyenletet nem lehet faktorizálással vagy tökéletes másodfokú módszerekkel megoldani.

Itt van a képlet képlete a B C a másodfokú egyenletben ax2 + bx + c = 0.

Az alábbiakban példa egy másodfokú egyenlet feladat megoldására képlet segítségével a B C.

Oldja meg az x2 + 4x - 12 = 0 egyenletet az abc képlet módszerével!

Település:

x2 + 4x - 12 = 0

ahol a = 1, b = 4, c = -12

Új másodfokú egyenlet felépítése

Ha korábban megtanultuk megtalálni az egyenlet gyökereit, akkor most megtanuljuk a másodfokú egyenletet a korábban ismert gyökerekből összeállítani.

Íme néhány módszer, amellyel új PK-t készíthet.

1.Készítse el az egyenletet, amikor ismeri a gyökereket

Ha egy egyenletnek x1 és x2 gyöke van, akkor ezekre a gyökerekre vonatkozó egyenlet kifejezhető

(x- x₁) (x- x₂)=0

Példa:

Keressen olyan másodfokú egyenletet, ahol a gyökerek -2 és 3 között vannak.

Település:

x₁ = -2 és x₂=3

(x - (- 2)) (x-3) = 0

(x + 2) (x + 3)

x2-3x + 2x-6 = 0

x2-x-6 = 0

Tehát ezeknek a gyökereknek az egyenletének eredménye x2-x-6 = 0

2.Készítsen másodfokú egyenletet, amikor ismeri a gyökerek összegét és szorzatát

Ha a másodfokú egyenlet gyökerei ismertek az x1 és x2 számmal és időkkel, akkor a másodfokú egyenlet a következő alakúra konvertálható.

x2- (x₁₊ x₂) x + (x_1.x₂)=0

Példa:

Keressen egy másodfokú egyenletet, amelynek gyökei 3 és 1/2.

Település:

x₁= 3 és x₂= -1/2

x₁₊ x₂=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2

x_1.x₂ = 3 (-1/2) = -3/2

Így a másodfokú egyenlet:

x2- (x₁₊ x₂) x + (x_1.x₂)=0

x2–5/2 x - 3/2 = 0 (mindkét oldal szorozva 2-vel)

2x2-5x-3 = 0

Tehát, a 3. és 1/2 gyök másodfokú egyenlete 2x2-5x-3 = 0.